Question

已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;   (2)若恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:  

Answer 1

(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為； (2) (3)證明如下

試題分析：解：(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013843731445.png" style="vertical-align:middle;" />， 
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
(2)由得，，
令，則，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減。
∴當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值為1，∴，
(3)由(1)可知若，當(dāng)時(shí)有 
，即,即有 (x>1),  
令，則,,
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。