Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的最大值是，求的值；

（2）已知，若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

（2）令，則 ，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，的值域?yàn)?/span>，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個(gè)正交點(diǎn)，即有兩個(gè)正根，即有兩個(gè)大于1的根，再根據(jù)一元二次方程的根的分布得到不等式組，即可解得.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，不合題意；

時(shí)，令，

設(shè)，則.

①若開口向上沒有最大值，故無最大值，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，且此時(shí)對(duì)稱軸，函數(shù)的最大值是，

所以，

解得或（舍），

所以.

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則的對(duì)稱軸，

所以當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，即為增函數(shù).

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，的值域?yàn)?/span>，

可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個(gè)正交點(diǎn)，

即有兩個(gè)正根.

即，設(shè)，

所以，

即有兩個(gè)大于1的根.

所以解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.