Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞減；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可得到結(jié)論.

（2）當(dāng)時(shí)，可得命題成立，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，分類(lèi)討論，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，可得，

由時(shí)，則，

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，命題成立，

當(dāng)時(shí)，由（1），

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，在上單調(diào)遞增，

又， 所以，

所以在上單調(diào)遞增，且，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以恒成立；

②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

又當(dāng)時(shí)，，

所以存在，對(duì)于，恒成立.

所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意.

綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立.