Question

如圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物

線的切線，切點(diǎn)分別為A，B

（I）求證A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，一2p）時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M．使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在。求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題意設(shè)A（），B（），，M（）

由，得，則，

所以  k_MA=,,k_MB

因此  直線MA的方程為

直線MB的議程為

所以             ①

              ②

由①、②得        因此

所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x₀=2時(shí)，

將其代入①、②并整理得：

所以  x_1、x₂是方程的兩根，

因此 

又    ，

所以  

由弦長(zhǎng)公式得

又   

所以   或

因此所求拋物線方程為或

（Ⅲ）解：設(shè)D（x_{3 ,} y₃）,由題意得C（x₁+x₂,y₁+y₂）,

則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線AB的方程為，

由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，

代入得

若D在拋物線上，則，

因此  或

即D（0，0）或D（）。

（1）當(dāng)x₀=0時(shí)，則,此時(shí)，點(diǎn)M（0，-2p）適合題意。

（2）當(dāng)，對(duì)于D(0,0),此時(shí)。