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        1. 已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2).

          (1)求過點P(1,2)的直線l的斜率k的取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點.

          (2)是否存在過P點的弦AB,使AB中點為P?

          (3)若Q(1,1),試判斷以Q為中點的弦是否存在?

          解:(1)設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0,(*)

          當(dāng)k=±時,方程組有唯一解.

          當(dāng)k≠±時,由Δ=0,得k=.

          所以當(dāng)k=±或k=或k不存在時,l與C只有一個交點.

          如圖,當(dāng)<k<或k<-或-<k<時,l與C有兩個交點.

          當(dāng)k>時,l與C無交點.

          (2)假設(shè)以P為中點的弦AB存在,

          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

          則x1、x2是方程(*)的兩個根,

          由韋達定理得=1,

          解得k=1.

          所以這樣的弦存在,方程為y=x+1.

          (3)假設(shè)弦AB以Q為中點,且A(x1,y1),B(x2,y2),

          所以2x12-y12=2,2x22-y22=2.

          兩式相減,得2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),

          所以2(x1-x2)=y1-y2.

          所以AB的斜率為2,但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點.

          所以假設(shè)不正確,即以Q為中點的弦不存在.

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          2
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          (2)過C的左焦點作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;
          (3)設(shè)斜率為k(|k|<
          2
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