Question

【題目】如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬為，要求通行車輛限高，隧道全長(zhǎng)為，隧道的拱線可近似的看成半個(gè)橢圓形狀．

（1）若最大拱高為，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少？

（2）若最大拱高不小于，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使隧道的土方工程量最��？

（注： 1.半個(gè)橢圓的面積公式為；2.隧道的土方工程量=截面面積隧道長(zhǎng)）

Answer 1

【答案】（1）32；（2）當(dāng)拱高為，拱寬為時(shí)，土方工程量最�。�

【解析】

試題分析：本題是橢圓的實(shí)際應(yīng)用題，考查利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程解應(yīng)用題．（1）以車道中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則在橢圓上，這時(shí)橢圓方程可設(shè)為，由及點(diǎn)坐標(biāo)可求得橢圓中的，從而得結(jié)論；（2）隧道的土方工程量最小即半橢圓的面積最小，即橢圓的面積為最小，利用標(biāo)準(zhǔn)方程及基本不等式可求得的最小值．

試題解析：（1）以車道中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)橢圓的方程為，則解之得：，

此時(shí)．

（2）由，可知，

故，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

答：當(dāng)拱高為，拱寬為時(shí)，土方工程量最�。�