Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0），直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及m的值；
（2）若h（x）=f（x）-g'（x）（其中g'（x）是g（x）的導函數(shù)），求h（x）的單調區(qū)是及最值．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用直線方程與曲線方程組成的方程有唯一解求得m．從而問題解決．
（2）令h'（x）=0求出x的值為x=1，分兩種情況討論h'（x）的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由題意可知直線l與函數(shù)f（x）=lnx相切于（1，0）．∵f′(x)=

1

x

∴切線斜率k=f'（1）=1∴切線l的方程為y=x-1
又∵直線l與g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)相切．
即方程

1

2

x2+mx+

7

2

=x-1有一個解．∴△=(m-1)2-4•

1

2

•

9

2

=0(m＜0)∴m=-2
（2）由（1）可知g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

∴g'（x）=x-2，∴h(x)=lnx-x+2(x＞0)∴h′(x)=

1

x

-1
由h'（x）=0，得x=1，h'（x）及h（x）的變化如下表

故h（x）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞），h（x）_max=h（1）=1，無最小值．

點評：考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．靈活運用分類討論的數(shù)學思想解決數(shù)學問題．