Question

(1)設圓錐的母線長為1,試問圓錐的底面半徑   為多少時,圓錐的體積最大?

(2)圓錐內有一半球,球面與圓錐側面相切,半球的底面在圓錐的底面上,已知半球半徑為r,圓錐的母線與底面所成的角為θ,求當圓錐的體積V_圓錐=f(θ)最小時,圓錐的高h的值.

Answer 1

解析:(1)設母線與底面所成的角為θ,則底面半徑為cosθ,高h=sinθ.

∴圓錐的體積V=πcos²θsinθ=cos²θsinθ,

記μ=cos²θsinθ,

則μ²=cos⁴θsin²θ

=［cos²θ·cos²θ·(2sin²θ)］

≤()³=,

∴μ≤(當且僅當cos²θ=2sin²θ時,取“=”).

∴V≤π,即V的最大值為π,

當V最大時,cos²θ=2sin²θ,

∴cosθ=,即圓錐的底面半徑為.

另解:設底面半徑為r,高為h,則r²+h²=1,圓錐的體積為V=πr²h,

∴V²=r⁴h²=(r²·r²·2h²)≤.

()³=,即V≤(當且僅當r²=2h²,即r=時,取“=”).

(2)下圖是圓錐及其內切半球的軸截面,則圓錐的底面半徑為R=,圓錐的高h=.

∴f(θ)=πR²h=πr³·.

由(1)的結論可知:當cosθ=時,sin²θcosθ取得最大值,從而f(θ)取得最小值,

即當h=r時,f(θ)取得最小值.