Question

已知點(diǎn)M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)(x∈R，a∈R，a是常數(shù))，設(shè)y=

OM

•

ON

（O為坐標(biāo) 原點(diǎn)）
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f(x)的最大值為4，求a的值，并求f(x)在[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin(2x+

π

6

)+ 1 + a，求出周期．
（2）根據(jù)x的范圍，可得角2x+

π

6

 的范圍，得到sin（2x+

π

6

 ）的值域，從而求得最值．

解答：解：（1）依題意得：

OM

=(1+cos2x，1)，

ON

=(1，

3

sin2x+a)，
∴y=1 + cos2x + a

3

sin2x+ a=2sin(2x+

π

6

)+ 1 + a，
∴f（x）的最小正周期為π．
（2）若x∈[0，

π

2

]，則(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
故 y_max =2+1+a=4，∴a=1，y_min =-1+1+a=a=1．

點(diǎn)評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和正弦公式，以及正弦函數(shù)的周期性、值域，化簡函數(shù)f（x）的解析式，是解題的突破口．