Question

（2012•陜西）設(shè)函數(shù)f(x)=

lnx，x＞0 -2x-1，x≤0

，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在D上的最大值為

2

．

Answer 1

分析：先求出曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線，然后畫(huà)出區(qū)域D，利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)z的最大值即可．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=

1

x

則f′（1）=1所以曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線為y=x-1
D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域如下圖陰影部分

z=x-2y可變形成y=

1

2

x-

z

2

，當(dāng)直線y=

1

2

x-

z

2

過(guò)點(diǎn)A（0，-1）時(shí)，截距最小，此時(shí)z最大
最大值為2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線性規(guī)劃，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，同時(shí)考查了作圖的能力和分析求解的能力，屬于中檔題．