Question

【題目】正三棱錐P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，對于以下結(jié)論：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是（ ， π）；
②若MN⊥AM，則PC與平面PAB所成角的大小為；
③過點M與異面直線PA和BC都成的直線有3條；
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ， 則過點N與平面PAC和平面PAB都成的直線有3條．
正確的序號是

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①設底面正三角形的邊長為1，過B作BD⊥PA，連結(jié)CD，則∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小，因為底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB= ， 所以當點P無限靠近點O時，即高無限小時，∠BDC接近 ， 所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是（ ， π），所以①正確．
②因為CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，則PB⊥AM，因為P﹣ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因為AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因為P﹣ABC是正三棱錐，所以必有PC⊥面PAB，所以PC與平面PAB所成角的大小為 ， 所以②正確．
③因為因為P﹣ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以過點M與異面直線PA和BC都成的直線有兩條，所以③錯誤．
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ， 則∠BDC= ， 此時∠EDC= ， （其中E是BC的中點）， ， 所以此時直線BC與平面PAC和平面PAB都成 ， 又因為平面PAC和平面PAB的法向量的夾角為 ， 此時適當調(diào)整過N的直線，可以得到兩條直線使得過點N與平面PAC和平面PAB都成 ， 所以滿足過點N與平面PAC和平面PAB都成的直線有3條． 所以④正確．
故答案為：①②④．

①利用二面角的大小區(qū)判斷．②利用線面角的定義去判斷．③利用異面直線的概念去判斷．④利用二面角的大小進行判斷．