Question

【題目】設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點．

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性；取導(dǎo)函數(shù)大于等于0的區(qū)間即增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于等于0的區(qū)間為減區(qū)間。（2）根據(jù)第一問得到函數(shù)是增函數(shù)，再根據(jù)零點存在定理得到函數(shù)存在零點，又因為單調(diào)故證得零點唯一性。

解析：

(1)解：f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex

＝(x＋1)2ex，x∈R，f′(x)≥0恒成立．

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．無減區(qū)間。

(2)證明　∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，

∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，

∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一個零點，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上遞增，

∴f(x)在(0，a)上僅有一個零點，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點．