Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

（a為實常數(shù)）
（1）當a=1時，求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在區(qū)間[

1

2

，1]上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：

5

4

n+

1

60

＜

n

k=1

[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]＜2n+1，n∈N*．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

，我們易求出當a=1時，函數(shù)φ（x）的解析式及其導函數(shù)的解析式，利用導數(shù)法，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當x=4時，φ（x）取最小值；
（2）方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上有解，可轉(zhuǎn)化為方程a=

3

2

x-x3在區(qū)間[

1

2

，1]上有解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

3

2

x-x3，x∈[

1

2

，1]，利用導數(shù)法求出函數(shù)的值域，即可得到實數(shù)a的取值范圍，
（3）令a_k=2f（2k+1）-f（k）-f（k+1），利用放縮法及裂項法，我們可以求出

n

k=1

ak≥

5

4

n+

1

60

，構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-x+2（x≥4）利用導數(shù)法，可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷出

n

k=1

ak＜2n+1，綜合討論結(jié)果，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當a=1時，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-

3

2

，
則φ′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∵在區(qū)間（0，1]上，φ′（x）≤0，在區(qū)間[1，+∞），φ′（x）≥0，
∴φ（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴在x∈[4，+∞）上，當x=4時，φ（x）的最小值為φ（4）=ln4-

5

4

．（4分）
（2）∵方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上有解
V即e^2lnx=

3

2

-

a

x

在區(qū)間[

1

2

，1]上有解
即a=

3

2

x-x3在區(qū)間[

1

2

，1]上有解
令h（x）=

3

2

x-x3，x∈[

1

2

，1]，
∴h′（x）=

3

2

-3x2，
∵在區(qū)間[

1

2

，

2

2

]上，h′（x）≥0，在區(qū)間[

2

2

，1]上，h′（x）≤0，
∴h（x）在區(qū)間[

1

2

，

2

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

2

2

，1]上單調(diào)遞減，
又h（1）＜h（

1

2

）．
∴h（1）≤h（x）≤h（

2

2

）
即

1

2

≤h（x）≤

2

2

故a∈[

1

2

，

2

2

]…（9分）
（3）設(shè)a_k=2f（2k+1）-f（k）-f（k+1）=2ln（2k+1）-lnk-ln（k+1）=ln

4k2+4k+1

k(k+1)

，
由（1）知，φ（x）的最小值為φ（4）=ln4-

5

4

＞0，
∴l(xiāng)nx＞

3

2

-

1

x

（x≥4）
又∵

4k2+4k+1

k(k+1)

＞4，
∴a_k＞

3

2

-

4k2+4k+1

k(k+1)

=

5

4

+

1

4

•

1

(2k+1)2

＞

5

4

+

1

4

•

1

(2k+1) (2k+3)

=

5

4

+

1

8

•(

1

2k+1

-

1

2k+3

)．
∴

n

k=1

ak＞

5

4

n+

1

8

•(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

5

4

n+

1

8

•(

1

3

-

1

2n+3

)≥

5

4

n+

1

8

•(

1

3

-

1

5

)=

5

4

n+

1

60

構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-x+2（x≥4），則F′（x）=

1-x

x

，
∴當x≥4時，F(xiàn)′（x）＜0．
∴F（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞減，
即F（x）≤F（4）=ln4-2=2（ln2-1）＜0．
∴當x＞4時，lnx＜x-2．  
∴a_k=ln

4k2+4k+1

k(k+1)

＜4+

1

k

-

1

k+1

-2，
即a_k＜2+

1

k

-

1

k+1

．
∴

n

k=1

ak＜2n+1-

1

n+1

＜2n+1．
故

5

4

n+

1

60

＜

n

k=1

[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]＜2n+1，n∈N*．（14分）

點評：本題考查的知識點是導數(shù)在最大值，最小值問題中的應用，導數(shù)在證明函數(shù)單調(diào)性時的應用，函數(shù)恒成立問題，不等式與函數(shù)的綜合應用，其中（1）的關(guān)鍵是利用導數(shù)法判斷出函數(shù)的單調(diào)性，（2）的關(guān)鍵是利用導數(shù)法，求出函數(shù)的最值，進而得到函數(shù)的值域，而（3）的關(guān)鍵是利用不等式證明的放縮法確定出

n

k=1

ak≥

5

4

n+

1

60

．本題綜合了函數(shù)，導數(shù)，數(shù)列應用中的難點，難度較大．