Question

【題目】如圖已知橢圓的焦點在軸上，其離心率為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）橢圓的弦，的中點分別為，，若平行于，直線與橢圓相切，且斜率為1，則，斜率之和是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值；定值為0

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由離心率得，再把點坐標(biāo)代入，得，可解得得方程；

（2）點，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達定理得，求出坐標(biāo)，再計算，并代入可得定值．

解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意知，，

解得，，

所以橢圓方程為.

（2）設(shè)點，，則有，，

由題意可知，所以，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得：，

由題意可知③，

，

通分后可變形得到，

將③式代入分子，

所以，斜率之和為定值0.