Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別為線(xiàn)段PA，PB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段CO的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，PA=PC=，
求證：（Ⅰ）PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）FG∥平面EBO。

Answer 1

證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形， △ABC為等邊三角形， （Ⅰ）因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC， 因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC， BO平面ABC， 所以BO⊥面PAC， 因?yàn)镻A平面PAC，所以BO⊥PA， 在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)， 所以O(shè)E⊥PA， 又BO∩OE=O， 所以PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）連接AF交BE于Q，連接QO， 因?yàn)镋，F(xiàn)，O分別為邊PA，PB，AC的中點(diǎn)， 所以，且Q是△PAB的重心， 于是， 所以FG∥QO， 因?yàn)镕G平面EBO，QO平面EBO， 所以FG∥平面EBO。