Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a∈R）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若a=4，y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍（其中自然對數(shù)的底數(shù)e為無理數(shù)且e=2.271828…）

Answer 1

（I）函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx的定義域是（0，+∞）．f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

①當a≤0時，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0時，f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（0，1]
②當0＜a＜2時，f′(x)≥0在(0，

a

2

]∪[1，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[

a

2

，1]上恒成立．
∴0＜a＜2時f(x)的增區(qū)間為(0，

a

2

]，[1，+∞)，f(x)的減區(qū)間為[

a

2

，1]．
③當a=2時，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．
④當a＞2時，f′(x)≥0在(0，1]和[

a

2

，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[1，

a

2

]上恒成立，∴a＞2時，f(x)的增區(qū)間為(0，1]和[

a

2

，+∞)，f(x)的減區(qū)間為[1，

a

2

]．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上單調(diào)增，在[1，2]上單調(diào)減，在[2，+∞）上單調(diào)增．
∴f（x）_極小值=f（2）=4ln2-8，f（x）_極大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點時m的取值范圍是（4ln2-8，-5）．