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          在△ABC中，給出如下命題：
          ①若
          AC
          •
          AB
          ＞0          ，則△ABC為銳角三角形；
          ②O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足
          OA
          •
          OB
          =
          OB
          •
          OC
          =
          OC
          •
          OA
          ，則O是△ABC的垂心；
          ③O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足
          OP
          =
          OA
          +λ(
          AB
          +
          AC
          )，λ∈[0，+∞)          ，則動點(diǎn)P一定過△ABC的重心；
          ④O是△ABC內(nèi)一定點(diǎn)，且
          OA
          +
          OB
          +
          OC
          =
          0
          ，則
          S△AOC
          S△ABC
          =
          1
          3
          ；
          ⑤若(
          AB
          |
          AB
          |
          +
          AC
          |
          AC
          |
          )•
          BC
          =0          ，且
          AB
          |
          AB
          |
          •
          AC
          |
          AC
          |
          =
          1
          2
          ，則△ABC為等腰直角三角形．
          其中正確的命題為
          ②③④
          ②③④
          （將所有正確命題的序號都填上）．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：①由數(shù)量積可以判斷三角形的內(nèi)角關(guān)系．②將向量進(jìn)行化簡，得到向量垂直關(guān)系．③將向量進(jìn)行化簡，得到向量共線關(guān)系．④將向量進(jìn)行化簡，得到向量共線關(guān)系，根據(jù)共線關(guān)系確定，O為重心．⑤利用平面向量的數(shù)量積公式，可推出向量垂直，進(jìn)而判斷三角形的邊角關(guān)系．
          解答：解：①若
          AC
          •
          AB
          ＞0          ，則得出角A為銳角，但無法判斷B，C都是銳角，所以①錯(cuò)誤．
          ②由
          OA
          ?
          OB
          =
          OB
          ?
          OC
          ，得(
          OA
          -
          OC
          )?
          OB
          =0          ，即
          AC
          ?
          OB
          =0          ，所以
          AC
          ⊥
          OB
          ．同理可知
          AB
          ⊥
          OC
          ，所以O(shè)是△ABC的垂心，所以②正確．
          ③由動點(diǎn)P滿足
          OP
          =
          OA
          +λ(
          AB
          +
          AC
          )，λ∈[0，+∞)          ，
          得
          OP
          -
          OA
          =λ(
          AB
          +
          AC
          )          ，即P的軌跡是直線AD，而AE是△ABC的中線，
          因此P的軌跡（即直線AD）過△ABC的重心．所以③正確．
          ④由
          OA
          +
          OB
          +
          OC
          =
          0
          ，得
          OC
          +
          OB
          =-
          OA
          =
          AO
          在三角形ABC中，E是邊BC的中點(diǎn)，則
          AO
          =2
          OE
          ，即O是三角形ABC的重心，所以
          S△AOC
          S△ADC
          =
          2
          3
          ，
          S△ADC
          S△ABC
          =
          1
          2
          ，所以
          S△AOC
          S△ABC
          =
          S△AOC
          S△ADC
          ×
          S△ADC
          S△ABC
          =
          2
          3
          ×
          1
          2
          =
          1
          3
          ，所以④正確．
          ⑤由(
          AB
          |
          AB
          |
          +
          AC
          |
          AC
          |
          )•
          BC
          =0          ，可知角A的角平分線垂直于BC，所以AB=AC．由
          AB
          |
          AB
          |
          •
          AC
          |
          AC
          |
          =
          1
          2
          ，可得cos?A=
          1
          2
          ，解得
          A=
          π
          3
          ，所以△ABC為等邊三角形，所以⑤錯(cuò)誤．所以正確的命題為②③④．
          故答案為：②③④．
          點(diǎn)評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，在做的過程中要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．側(cè)面A1ABB1是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn)．  
          （1）求證：直線EF∥平面A1ACC1；   
          （2）在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；  
          （3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且V∈[
          32
          ，12]          ，求a的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          給出下列三個(gè)命題：
          ①函數(shù)y=
          1
          2
          ln
          1-cos x
          1+cos x
          與y=lntan
          x
          2
          是同一函數(shù)；
          ②若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f（2x）與y=
          1
          2
          g（x）的圖象也關(guān)于直線y=x對稱；
          ③如圖，在△ABC中，
          AN
          =
          1
          3
          NC
          ，P是BN上的一點(diǎn)，若
          AP
          =m
          AB
          +
          2
          11
          AC
          ，則實(shí)數(shù)m的值為
          3
          11
          ．
          其中真命題是（　　）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：福建省廈門六中2011－2012學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
				題型：022
			
          

						
          

          如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D－ABC中，給出下列三個(gè)命題：
          

          ①△DBC是等邊三角形；
          

          ②AC⊥BD；
          

          ③三棱錐D－ABC的體積是．
          

          

          其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）和點(diǎn)A1.
              
          （1）畫出一個(gè)格點(diǎn)△A1B1C1，并使它與△ABC全等且A與A1是對應(yīng)點(diǎn)；
              
              
          （2）畫出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)D，并指出AD可以看作由AB繞A點(diǎn)經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)而得到的.
              
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2012-2013學(xué)年北京市西城區(qū)普通校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．側(cè)面A1ABB1是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn)．  
          （1）求證：直線EF∥平面A1ACC1；   
          （2）在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；  
          （3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且，求a的取值范圍．

          

			
          

			
          
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