Question

已知，數(shù)列的前項和為，點在曲線上，且，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求數(shù)列的通項公式；

（3）求證：，.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)函數(shù)的解析式，由條件“點在曲線上”上得出與之間的遞推關(guān)系式，然后進(jìn)行變形得到，于是得到數(shù)列為等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果結(jié)合已知條件得到

，兩邊同時除以，得到，構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項公式，然后求出，然后由與之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式；（3）對數(shù)列中的項進(jìn)行放縮法

，再利用累加法即可證明相應(yīng)的不等式.

試題解析：（1）且，∴，

數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差，，

，；

（2）由，，

得，，

數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為，

∴，，當(dāng)時，，

也滿足上式，，；

（3），

.

考點：1.構(gòu)造等差數(shù)列求通項；2.定義法求通項公式；3.放縮法證明數(shù)列不等式