Question

如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)．當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（II）求過點(diǎn)O、，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；
（Ⅲ）求的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）最大值，最小值

（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點(diǎn)．
設(shè)橢圓的方程：．
解方程組 得C（-1，2），D（1，-2）．
由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對稱，
∴，，∴ ．       …………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故橢圓的方程為 ．                           …………4分
（Ⅱ），
圓過點(diǎn)O、，
圓心M在直線上．
設(shè)則圓半徑，由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切，
∴
由得解得
所求圓的方程為…………………………8分
（Ⅲ）由
①若垂直于軸，則，
，
…………………………………………9分
②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為

由   得 
，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)，.
,  ………………………………11分




= 
 
，所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值