Question

【題目】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前n項(xiàng)和為，且滿足，.

（1）證明；

（2）若，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，求首項(xiàng)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,變形可證明為等差數(shù)列.結(jié)合條件,,可得,進(jìn)而表示出.由為等差數(shù)列,表示出,化簡變形后結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明.

（2）將三角函數(shù)式分組,提公因式后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡.再由平方差公式及正弦的和角與差角公式合并.根據(jù)條件等式,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),即可求得.由,即可確定.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值,可得不等式組,即可得首項(xiàng)的取值范圍.

（1）證明:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,

則

所以,,

故為等差數(shù)列,

因?yàn)?/span>,,所以

,解得,

因?yàn)?/span>,

得

故,從而.

（2）而

.

由條件

又由等差數(shù)列性質(zhì)知：

所以,

因?yàn)?/span>,所以,那么.

等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值.

,

所以.