Question

【題目】正方形的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求二面角的余弦值;

（Ⅱ）以為底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上,求這個(gè)正三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，從而可求出二面角的余弦值；（Ⅱ）連接,分別取他們中點(diǎn)記為,分別連接，根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，可推出且，進(jìn)而推出為三棱柱的高，結(jié)合正方形的棱長(zhǎng)為1，即可求值.

試題解析：（Ⅰ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn), , , .

∴,.

設(shè)平面的法向量為.

∴即，解得.

平面的法向量為

∴.

由圖可知,二面角為鈍角,故余弦值為.

（Ⅱ）連接,分別取他們中點(diǎn)記為,分別連接

是的中位線(xiàn),

且, 且.

且.

同理可證且, 且,此時(shí)即為三棱柱高

.