Question

已知圓A：（x-1）²+y²=4與x軸負(fù)半軸交于B點(diǎn)，過(guò)B的弦BE與y軸正半軸交于D點(diǎn)，且2

BD

=

DE

，曲線C是以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)D點(diǎn)的橢圓．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓A上運(yùn)動(dòng)，求PQ+PD的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知B（-1，0），E（2，

3

），D（0，

3

3

），由此能求出橢圓方程．（2）由PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2，知PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4

3

3

+DB=2

3

，由此能得到PQ+PD的最大值．

解答：解：（1）由題設(shè)知B（-1，0），E（2，

3

），D（0，

3

3

），∴橢圓方程為

3

4

x2+3y2=1．
（2）∵PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2，
∴PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4

3

3

+DB=2

3

，
所以P在DB延長(zhǎng)線與橢圓交點(diǎn)處，Q在PA延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)處，得到PQ+PD最大值為2+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．