Question

【題目】如圖，四棱柱中，底面，底面是梯形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）存在點(diǎn)是的中點(diǎn)，使平面.

【解析】試題分析：（1）先由棱柱的性質(zhì)證明，再根據(jù)勾股定理可得，從而可得平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）存在點(diǎn)是的中點(diǎn)，使平面，先根據(jù)中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明可得到結(jié)論.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>底面， 所以底面，因?yàn)?/span>底面，

所以因?yàn)榈酌?/span>是梯形，，，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以在中，所以所以

又因?yàn)?/span>所以平面因?yàn)?/span>平面，所以平面平面

（2）存在點(diǎn)是的中點(diǎn)，使平面.

證明如下：取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié),所以，且因?yàn)?/span>，所以，且所以四邊形是平行四邊形.所以

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直與面面垂直的判定，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.