Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和x的范圍，進(jìn)而求得函數(shù)的最大和最小值．

解答：解：（I）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（II）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數(shù)，
又f(

π

8

)=0，f(

3π

8

)=

2

，f(

3π

4

)=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點(diǎn)評：本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)y=Asin（ωx+?）的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力．