Question

已知函數(shù)f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x，
（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）時(shí)，f（x）的圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式將f（x）化為asin²x+（3-a）sinx-2a+6，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，求出x∈[0，

π

2

]時(shí)f（x）的最小值；
（II）將已知條件轉(zhuǎn)化為y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個(gè)不同的解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，列出a滿足的不等式，解不等式求出a的范圍．

解答：解：（I）函數(shù)f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x
=asin²x+（3-a）sinx-2a+6
令sinx=t，則有t∈[0，1]，
所以y=at²+（3-a）t-2a+6，t∈[0，1]，
對(duì)稱軸t=

1

2

-

3

2a

當(dāng)0＜a＜3時(shí)，y=at²+（3-a）t-2a+6在[0，1]遞增，
所以當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)最小值為-2a+6；
當(dāng)a≥3時(shí)，t=

1

2

-

3

2a

∈[0，1]，，所以當(dāng)t=

1

2

-

3

2a

函數(shù)有最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

總之，函數(shù)的最小值為
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，最小值為-2a+6；
當(dāng)a≥3時(shí)，最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

．
（II）因?yàn)閤∈[0，2π）時(shí)，f（x）的圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
等價(jià)于y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個(gè)不同的解，
所以

-1≤ 1 2 - 3 2a ≤1 3≥0 9-2a≥0

，
解得1≤a≤

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題，應(yīng)該判斷出對(duì)稱軸與所在區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，進(jìn)一步判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值；解決二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題，應(yīng)該畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，從對(duì)稱軸、開(kāi)口方向、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)三個(gè)方面，結(jié)合圖象寫出限制條件．