Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²-1上，過右焦點作相互相垂直的兩條弦AB，CD，設M，N分別為AB，CD的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明直線MN恒過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²-1上，可得b=c=1，從而可求橢圓的方程；
（2）直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定M、N的坐標，可得直線MN的方程，化簡即可得到直線MN恒過定點．

解答：（1）解：由題意，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²-1上
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）證明：當AB的斜率為0或不存在時，直線MN的方程為y=0；
當AB的斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為y=k（x-1）
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點M的坐標為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
直線AB的方程y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（2k²+1）-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

4k2

2k2+1

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

2k2+1

∴M（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

）
同理可得N（

2

k2+2

，

k

k2+2

）
∴直線MN的方程為：

y+ k 2k2+1

k k2+2 + k 2k2+1

=

x- 2k2 2k2+1

2 k2+2 - 2k2 2k2+1

化簡可得（2-2k²）y=3k（x-

2

3

）
∴直線MN恒過定點（

2

3

，0）．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，確定直線MN的方程是關(guān)鍵．