Question

已知函數(shù)f(x)=

bx+c

ax2+1

（a，b，c∈R，a＞0）是奇函數(shù)，若f（x）的最小值為-

1

2

，且f(1)＞

2

5

，則b的取值范圍是

1

2

＜b＜2

．

Answer 1

分析：已知f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），其中f（0）=0，解出c=0，對(duì)f（x）進(jìn)行變形利用均值不等式得出f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）的最小值為-

1

2

，求出a與b的關(guān)系式，代入f(1)＞

2

5

得b的范圍；

解答：解：∵f(x)=

bx+c

ax2+1

(a，b，c∈R，a＞0)，是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴c=0，
∵f(1)＞

2

5

＞0，
∴b＞0，
∴f（x）=

b

ax+ 1 x

≥

b

-2 a

，
∴

b

-2 a

=-

1

2

，
∴a=b²，解得f（1）=

b

b2+1

＞

2

5

得

1

2

＜b＜2，
故答案為：

1

2

＜b＜2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的奇偶性，以及利用均值不等式的來求未知量的范圍，是一道中檔題；