Question

已知函數(shù)y=

1

2

sin(2x+

π

6

)，x∈R．
（1）寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間、對稱軸方程和對稱中心；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求y的取值范圍；
（3）說明由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到函數(shù)y=

1

2

sin(2x+

π

6

)的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，正弦函數(shù)的對稱軸方程與對稱中心坐標(biāo)求出函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求出2x+

π

6

的范圍，然后求y的取值范圍；
（3）通過左加右減以及伸縮變換的原則，由y=sinx的圖象經(jīng)過向左平移

π

6

個單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="mq3emq7" class="MathJye">

1

2

，然后將所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="ag9zqns" class="MathJye">

1

2

得到函數(shù)y=

1

2

sin(2x+

π

6

)的圖象．

解答：解：（1）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]．k∈Z．
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ(k∈Z)，得對稱軸方程x=

π

6

+

kπ

2

(k∈Z)
由2x+

π

6

=kπ(k∈Z)，得對稱中心(

kπ

2

-

π

12

，0)(k∈Z)
（2）x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，y∈[-1.2]．
（3）函數(shù)y=

1

2

sin(2x+

π

6

)的圖象可以由y=sinx的圖象先向左平移

π

6

個單位，
再將所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="xg12ic3" class="MathJye">

1

2

（縱坐標(biāo)不變），
最后將所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="lpqn882" class="MathJye">

1

2

（橫坐標(biāo)不變）而得到．

點評：本題考查考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱中心與對稱軸方程的求法，三角函數(shù)的值與圖象的變換，考查基本知識的掌握情況，考查計算能力．