Question

直線mx+ny-3=0與圓x²+y²=3沒有公共點(diǎn)，若以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則過點(diǎn)P的一條直線與橢圓

x2

7

+

y2

3

=1的公共點(diǎn)有

2

個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)直線mx+ny-3=0與圓x²+y²=3沒有公共點(diǎn)即為將方程代入圓中消去x得到方程無解，利用根的判別式小于零求出m與n的關(guān)系式，得到m與n的絕對(duì)值的范圍，在根據(jù)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，比較可得公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：將直線mx+ny-3=0變形代入圓方程x²+y²=3，消去x，得
（m²+n²）y²-6ny+9-3m²=0．令△＜0得，m²+n²＜3．
又m、n不同時(shí)為零，∴0＜m²+n²＜3．
由0＜m²+n²＜3，可知|n|＜

3

，|m|＜

3

，
再由橢圓方程a=

7

，b=

3

可知P（m，n）在橢圓內(nèi)部，
∴過點(diǎn)P的一條直線與橢圓

x2

7

+

y2

3

=1的公共點(diǎn)有2個(gè)．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生綜合運(yùn)用直線和圓方程的能力．以及直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用能力，是中檔題．