Question

一中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓與直線x＋y＝3相交于A、B兩點，C是AB的中點，若|AB|＝2，O是坐標原點，OC的斜率是2，求橢圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，則mx12＋ny12＝1，mx22＋ny22＝1． 　　兩式相減得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 　　即2mx0·(x1－x2)＋2ny0·(y1－y2)＝0， 　　即mx0＋ny0·＝0． 　　∵＝－1，∴mx0＝ny0． 　　又∵kOC＝＝2，∴＝2，即m＝2n． 　　將y＝3－x代入方程mx2＋ny2＝1中得(m＋n)x2－6nx＋9n－1＝0． 　　∵|AB|＝2．∴由弦長公式得 　　·＝2． 　　將同m＝2n代入得n＝，∴m＝2n＝， 　　∴橢圓方程為x2＋y2＝1，即＋＝1． 　　分析一：本題既涉及弦長，又涉及弦的中點，所以可以將弦長公式與點差法綜合運用而解決問題． 　　解法二：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，A(x1，3－x1)，B(x2，3－x2)． 　　由得C(1，2)，∴x1＋x2＝2． 　　∵|AB|＝2，∴|x1－x2|＝2，∴|x1－x2|＝2． 　　不妨設(shè)x1＞x2，則x1－x2＝2． 　　由得∴A(2，1)，B(0，3)． 　　又∵A、B在橢圓上，∴解得 　　∴橢圓方程為x2＋y2＝1，即＋＝1． 　　分析二：由直線OC與直線AB交于點C而易得出C的坐標，從而試想以中心C為突破口，求出點A、B的坐標，從而求出橢圓的方程．

提示：

評注：將橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1，既減少了計算量，又可以避免對焦點位置的討論．在解法二中，充分利用條件，將點的坐標用盡可能少的字母來表示．