Question

【題目】如圖所示，四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)線面垂直有，計算得，即，所以平面，所以；（2）過作于點(diǎn)，連接.由（1）知，，故平面，得.∴為二面角的平面角.在中計算得；（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得平面，連接，則為直線與平面所成的角.設(shè)，在中利用余弦定理建立關(guān)于的方程，求得.

試題解析：

（1）∵側(cè)棱底面，平面，∴.

經(jīng)計算可得，，，

∴，∴在中，.

又∵，平面，，∴平面.又平面，

∴.

（2）如圖所示，過作于點(diǎn)，連接.

由（1）知，，故平面，得.

∴為二面角的平面角.

在中，由，，可得.

在中，，∴，

即二面角的正弦值為.

（3）如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得平面，

連接，則為直線與平面所成的角.

設(shè)，從而在中，有，.

在中，，，得.

在中，，，

由，

得，

整理得，解得（負(fù)值舍去）.

∴線段的長為.