Question

（2012•徐匯區(qū)一模）為保護環(huán)境，某單位采用新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最多不超過300噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系式可近似的表示為：y=x²-200x+40000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為300元．
（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應控制在什么范圍？

Answer 1

分析：（1）二氧化碳的每噸平均處理成本，利用月處理成本除以月處理量，即可得到，再利用基本不等式可求每噸的平均處理成本最低；
（2）單位每月獲利為處理二氧化碳得到可利用的化工產品價值減去月處理成本，由此可建立不等式，即可求解．

解答：解：（1）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本，利用月處理成本除以月處理量，即

y

x

=x+

40000

x

-200，x∈(0，300]…（4分）
因為x+

40000

x

-200≥2

x× 40000 x

-200=200，…（6分）
當且僅當x=

40000

x

，即x=200時，才能使每噸的平均處理成本最低．…（8分）
（2）設該單位每月獲利為S（元），則單位每月獲利為處理二氧化碳得到可利用的化工產品價值減去月處理成本．
S=300x-y=300x-（x²-200x+40000）=-x²+500x-40000≥0…（10分）
∴100≤x≤400…（12分）
由題意可知0＜x≤300，所以當100≤x≤300時，該單位每月不虧損…（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查學生的閱讀能力，考查解不等式，同時考查基本不等式的運用，建立函數(shù)模型是關鍵．