Question

有一五邊形ABCDE的地塊（如圖所示），其中CD，DE為圍墻．其余各邊界是不能動的一些體育設施．現(xiàn)準備在此五邊形內建一棟科技樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地．
（Ⅰ）請設計科技樓的長和寬，使科技樓的底面面積最大？
（Ⅱ）若這一塊地皮價值為400萬，現(xiàn)用來建每層為256平方米的樓房，樓房的總建筑面積（即各層的面積之和）的每平方米平均建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整棟樓房每平方米的建筑費用增加25元．已知建筑5層樓房時，每平方米的建筑費用為500元．為了使該樓每平方米的平均綜合費用最低（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），問應把樓建成幾層？

Answer 1

解：（Ⅰ）由圖建立如圖所示的坐標系，可知AB所在的直線方程為
=1，即 x+y=20，設G（x，y），由y=20-x可知G（x，20-x）．
S=（34-（20-x））（23-5-x）=-x²+4x+18•14=-（x-2）²+256．
由此可知，當x=2時，S有最大值256平方米．答：長寬均為16時面積最大．
（Ⅱ）設應把樓房建成x層，則樓房的總面積為256x平方米，每平方米的購地費為4000000÷（256x）元，每平方米的建筑費用為500+500（x-5）•5%元．
于是建房每平方米的綜合費用為
y=500+500（x-5）•5%+=375+25x+≥375+2•=375+1250=1625（元）．
當25x=，即x²=，x==25時，y有最小值1625．
故為了使該樓每平方米的平均綜合費用最低，學校應把樓房建成25層．
分析：（I）由圖建立如圖所示的坐標系，可知AB所在的直線方程，從而求出點G的坐標，最后根據(jù)矩形的面積公式求出面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最值即可；
（II）設應把樓房建成x層，則樓房的總面積為256x平方米，每平方米的購地費為4000000÷（256x）元，每平方米的建筑費用為500+500（x-5）•5%元．從而求出建房每平方米的綜合費用，利用基本不等式求出最小值即可．
點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應用，主要涉及了用解析法解決平面問題，矩形面積公式，二次函數(shù)法求最值，以及數(shù)形結合的思想．