Question

若關(guān)于x的方程

1

2

x2=ln(x2+1)+k有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A．(-∞，

  1

  2

  -ln2)
• B．（0，+∞）
• C．(

  1

  2

  -ln2，0]
• D．(

  1

  2

  -ln2，0)

Answer 1

分析：由題意可得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

2

x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k=0時(shí)，滿足條件；當(dāng)f（x） 和
g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)，由f′（x）=g′（x）可得，x=1，此時(shí)，k=

1

2

-ln2，綜上可得，實(shí)數(shù)k的
取值范圍．

解答：解：∵關(guān)于x的方程

1

2

x2=ln(x2+1)+k有四個(gè)不相等的實(shí)根，
∴偶函數(shù)f（x）=

1

2

x² 和偶函數(shù) g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

2

x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
由于函數(shù)g（x） 的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，k），f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，0），再由對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)可得，
當(dāng)k=0時(shí)，f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上有3個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)，由f′（x）=g′（x）可得 x=

2x

x2+1

，x=1，此時(shí)，k=

1

2

-ln2．
綜上可得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (

1

2

-ln2 ， 0)，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．