Question

已知動點P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為6．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若已知D（0，3），點M、N在動點P的軌跡上，且

DM

=λ

DN

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線的焦點坐標，利用動點P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為6，可得動點P的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，且a=3，c=

5

，從而可求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），利用

DM

=λ

DN

，求出坐標之間的關(guān)系，根據(jù)M，N在動點P的軌跡C上，消去一個參數(shù)，即可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個焦點F₁（

5

，0），F(xiàn)₂（-

5

，0）．
∵動點P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為6，
∴動點P的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，且a=3，c=

5

，
∴b=

a2-c2

=

5

，
∴動點P的軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），則
∵

DM

=λ

DN

，
∴（x，y-3）=λ（s，t-3），
∴x=λs，y=3+λ（t-3），
∵M，N在動點P的軌跡C上，
∴

s2

9

+

t2

4

=1，

(λs)2

9

+

(λt+3-3t)2

4

=1，
消去s可得

(λt+3-3λ)2-λ2t2

4

=1-λ2，
解得t=

13λ-5

6λ

．
∵|t|≤2，
∴|

13λ-5

6λ

|≤2，
解得

1

5

≤λ≤5．
∴實數(shù)λ的取值范圍為[

1

5

，5]．

點評：本題考查雙曲線、橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查解不等式，屬于中檔題．