Question

若=，=（sinωx，sinωx），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=2•，f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間和f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡得f（x）=，再由正弦函數(shù)周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間．再根據(jù)正弦函數(shù)的值域和函數(shù)取最大值時x的取值，解關(guān)于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．
解答：解：∵=，=（sinωx，sinωx）
∴•=sinωxcosωx+sin²ωx=sin2ωx+（1-cos2ωx）
故f（x）=2•==…（4分）
（1）∵f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為
∴可得，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x-）+1
由，可得
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為…（8分）
當(dāng)2x-=（k∈Z），即x=時，函數(shù)的最大值f_max（x）=3
∴f（x）的最大值為3，取得最大值時x的取值集合為…（12分）
點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，給出三角函數(shù)式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期，并求取得最大值時x的取值集合，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．