Question

    已知函數(shù)

    （1）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

    （2）當(dāng)時(shí)，表示函數(shù)上的最大值，求的表達(dá)式；

    （3）求證：。

Answer 1

【考點(diǎn)分析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

解：（1）（法一）

設(shè)，，當(dāng)時(shí)

若，由，易知在時(shí)恒成立，無(wú)極值點(diǎn).

若，設(shè)的兩根為且。

,,故有

		0	-	0	+

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)。…………4分

（法二）………1分

設(shè)，有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)大于的不等實(shí)根，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)�！�………4分

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，

在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

在上的的最大值為或

 ，設(shè)，

，，故，

.

（3）由（2）知在上有最大值，且僅在時(shí)取得.取，，則

即

法一：，，…，，.

相加得：

，

 ，

即：

法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，易知成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即成立

時(shí)，

=

=

<

  （由歸納假設(shè)及，）

∴當(dāng)不等式也成立，故得證。