Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-6x-5．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在區(qū)間[l，3]上的最小值；
（3）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在區(qū)間[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)解析式，化簡不等式 f（x）＞4，進(jìn)而根據(jù)二次不等式的解法，可得不等式 f（x）＞4的解集；
（2）根據(jù)已知求出函數(shù)g（x）=f（x）-2x²+mx的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（3）根據(jù)已知中函數(shù)解析式，化簡不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a+b，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間[1，3]上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值均為負(fù)，構(gòu)造不等式組，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍；

解答：解：（1）不等式 f（x）＞4
即3x²-6x-9＞0
解得x＞3，或x＜-1
∴不等式 f（x）＞4的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）
（2）g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5
其圖象是開口朝上，且以x=

6-m

2

為對(duì)稱軸的拋物線
當(dāng)

6-m

2

＞3，即m＜0時(shí)，g（x）的最小值為g（3）=3m-14
當(dāng)1≤

6-m

2

≤3，即0≤m≤4時(shí)，g（x）的最小值為g（

6-m

2

）=

-m2+12m-56

4

當(dāng)

6-m

2

＜1，即m＞4時(shí)，g（x）的最小值為g（1）=m-10
（3）若不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a+b在x∈[1，3]上恒成立，
即不等式2x²+2ax-5-a-b＜0在x∈[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+2ax-5-a-b
∵a∈[1，2]，故h（x）圖象的對(duì)稱軸x=-

a

2

∈[-1，-

1

2

]
∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)h（x）取最大值5a-b+13
故只須a∈[1，2]時(shí)，5a-b+13≤0恒成立即可；
即當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，b≥5a+13恒成立，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是[23，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的恒成立問題，一元二次不等式的解法，函數(shù)的交集運(yùn)算，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能用之解答一元二次不等式問題是解答的關(guān)鍵．