Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₄=16，S₆=36，
（1）求a_n；
（2）設λ為實數，對任意正整數m，n，不等式S_m+S_n＞λ•S_m+n恒成立，求實數λ的取值范圍；
（3）設函數f(n)=

an，n為奇數 f( n 2 )，n為偶數

c_n=f（2ⁿ⁺²+4）（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由S₄=16，S₆=36，知

4a1+ 4×3 2 d=16 6a1+ 6×5 2 d=36

，由此能求出a_n．
（2）由a_n=2n-1，得S_n=n²，由m²+n²＞λ（m+n）²對任意正整數m，n恒成立，知λ＜

m2+n2

(m+n)2

對任意正整數m，n恒成立，由此能求出實數m的取值范圍．
（3）由題意得cn=f(2n+2+4)=f(2n+1+2)=f(2n+1)=a2n+1=2•(2n+1)-1=2n+1+1，由此能求出T_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由S₄=16，S₆=36，
得

4a1+ 4×3 2 d=16 6a1+ 6×5 2 d=36

，…（2分）
解得

a1=1 d=2

，…（4分）
∴a_n=2n-1…（5分）
（2）由a_n=2n-1，
得S_n=n²，
S_m+S_n＞λ•S_m+n，
即m²+n²＞λ（m+n）²對任意正整數m，n恒成立，
∴λ＜

m2+n2

(m+n)2

對任意正整數m，n恒成立，…（7分）
而

m2+n2

(m+n)2

=

m2+n2

m2+n2+2mn

≥

m2+n2

m2+n2+m2+n2

=

1

2

（m=n時取等號）…（9分）
∴λ＜

1

2

…（10分）
（3）由題意得：
cn=f(2n+2+4)=f(2n+1+2)=f(2n+1)=a2n+1=2•(2n+1)-1=2n+1+1…（13分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+n
=2ⁿ⁺²-4+n．…（15分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，求實數λ的取值范圍和求數列{c_n}的前n項和T_n．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．