【題目】某3D打印機(jī),其打出的產(chǎn)品質(zhì)量按照百分制衡量,若得分不低于85分則為合格品,低于85分則為不合格品,商家用該打印機(jī)隨機(jī)打印了15件產(chǎn)品,得分情況如圖;
(1)寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),并估計(jì)該打印機(jī)打出的產(chǎn)品為合格品的概率;
(2)若打印一件合格品可獲利54元,打印一件不合格品則虧損18元,記X為打印3件產(chǎn)品商家所獲得的利潤(rùn),在(1)的前提下,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】
(1)解:該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87,眾數(shù)為92,打印的15件產(chǎn)品中,合格品有10件,由此可估計(jì)該打印機(jī)打出的產(chǎn)品為合格品的
概率為
(2)解:隨機(jī)變量X可以取﹣54,18,90,162,
P(X=﹣54)=C30×(1﹣ )3=
,P(X=18)=C31×
×(1﹣
)2=
,P(X=90)=C32×(
)2×(1﹣
)1=
,P(X=162)=C33×(
)3=
,
X的分布列為
X | ﹣54 | 18 | 90 | 162 |
P |
∴隨機(jī)變量X的期望E(X)=(﹣54)× +18×
+90×
+162×
=90
【解析】(1)利用莖葉圖直接求解該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87,眾數(shù)為92,打印的15件產(chǎn)品中,合格品有10件,即可求解概率.(2)隨機(jī)變量X可以取﹣54,18,90,162,求出概率,列出分布列,然后求解期望即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的莖葉圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列,需要了解莖葉圖又稱“枝葉圖”,它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較,將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干(莖),將變化大的位的數(shù)作為分枝(葉),列在主干的后面,這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù),每個(gè)數(shù)具體是多少;在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為平行四邊形,
底面
,
是棱
的中點(diǎn),
且.
(1)求證: 平面
;
(2)如果是棱
上一點(diǎn),且直線
與平面
所成角的正弦值為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù)
,那么該函數(shù)在
上是減函數(shù),在
上是增函數(shù).
(1)已知,
,
,利用上述性質(zhì),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和值域.
(2)對(duì)于(1)中的函數(shù)和函數(shù)
,若對(duì)于任意的
,總存在
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E為BC上一點(diǎn)且BE= BC,PB⊥AE.
(1)求證:AB⊥PE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c, =
.
(1)求角C的大。
(2)求sinAsinB的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的右焦點(diǎn)F(1,0),過F的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)l垂直于x軸時(shí),|AB|=3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)T,使得 為定值?若存在,求出點(diǎn)T坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù),其中
為奇函數(shù),
為偶函數(shù),若不等式
對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,過點(diǎn)P分別做圓O的切線PA、PB和割線PCD,弦BE交CD于F,滿足P、B、F、A四點(diǎn)共圓.
(Ⅰ)證明:AE∥CD;
(Ⅱ)若圓O的半徑為5,且PC=CF=FD=3,求四邊形PBFA的外接圓的半徑.
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