Question

（ 10分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．
（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；
（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：由條件知，，設(shè)，．
解法一：（I）設(shè)，則，，
，由得
即 于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193350434414.png" style="vertical-align:middle;" />兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡(jiǎn)得．
當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．
所以點(diǎn)的軌跡方程是．
（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，
于是


．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193351167552.png" style="vertical-align:middle;" />是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．
當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，
此時(shí)．
故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

略