Question

（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成的角的大��；
（2）求側(cè)面A₁B與底面所成二面角的大小；
（3）求點(diǎn)C到側(cè)面A₁B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

【答案】分析：甲（1）由題意畫出圖形由于側(cè)面A₁C⊥底面ABC，所以A₁A與底面ABC所成的角為∠A₁AC，解出即可；
（2）由題意及圖形利用二面角平面角的概念即可求二面教的大��；
（3）由題意利用三棱錐的等體積進(jìn)行輪換可得距離．
乙（1）由于幾何體為長方體，利用條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點(diǎn)的空間坐標(biāo)利用向量的知識和等體積法求出距離；
（2）利用條件及所給圖形利用二面角的平面角的定義，設(shè)出BF=x，BE=y，則x+y=a，利用均值不等式求出BE，BF的長度，再在三角線中進(jìn)行求解出二面角的大小．
解答：（甲）（1）∵側(cè)面A₁C⊥底面ABC，∴A₁A在平面ABC上的射影是AC、A₁A與底面ABC所成的角為∠A₁AC．
∵A₁A=A₁C，A₁A⊥A₁C，∴∠A₁AC=45°．

（2）作A₁O⊥AC于O，則A₁O⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，連接A₁E，則A₁E⊥AB，
所以∠A₁EO就是側(cè)面A₁B與底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△A₁EO中，，，
∴．∠A₁EO=60°．

（3）設(shè)點(diǎn)C到側(cè)面A₁B的距離為x．
∵，
∴．（*）
∵，OE=1，∴．
又，∴．
又．∴由（*）式，得．∴x=1

（乙）（1）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AE=BF=x，則A'（a，0，a），F(xiàn)（a-x，a，0），C'（0，a，a），E（a，x，0），
∴=（-x，a，-a），=（a，x-a，-a）．
∵，
∴A'F⊥C'E．

（2）解：記BF=x，BE=y，則x+y=a，則三棱錐B'-BEF的體積為．
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，．
過B作BD⊥BF交EF于D，連接B'D，則B'D⊥EF．
∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角．在Rt△BEF中，直角邊，BD是斜邊上的高，∴
在Rt△B'DB中，tan∠．故二面角B'-EF-B的大小為．
點(diǎn)評：甲（1）此問重點(diǎn)考查了面面垂直的性質(zhì)定理及線面角的定義；
（2）此問重點(diǎn)考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解三角形的角的大��；
（3）此問重點(diǎn)考查了利用三棱錐的等體積可以進(jìn)行定點(diǎn)輪換求其體積進(jìn)而可以求點(diǎn)到面的距離．
乙（1）此問重點(diǎn)考查了利用長方體的特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量的知識解決線線垂直的證明；
（2）此問重點(diǎn)考查了利用向量的知識和設(shè)出變量利用均值不等式的求出最值時的線段長度，進(jìn)而求解出二面角的大小，還考查了反三角的知識．