Question

（文）若函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
（理） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

Answer 1

a≤-3    （）
分析：（文）由函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍．
（理）可先設(shè)Q（x，y，z），由點(diǎn)Q在直線OP上可得Q（λ，λ，2λ），則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得 =2（3λ²-8λ+5），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求，取得最小值時(shí)的λ，進(jìn)而可求Q
解答：（文）解：∵函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值為-3，
∴a≤-3
∴故答案為：a≤-3．
（理）解：設(shè)Q（x，y，z）
由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得 ，則有Q（λ，λ，2λ）
，
當(dāng) =（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng) 時(shí)，取得最小值 此時(shí)Q
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．本題主要考查了平面向量的共線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得 ，進(jìn)而有Q（λ，λ，2λ），然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求解最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．