Question

PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC，則異面直線PB與AC所成角等于

π

3

．

Answer 1

分析：作圖，分別取PA、AB、BC的中點(diǎn)D、E、F，連結(jié)DE、DF、EF、AF，則DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其補(bǔ)角即為所求，設(shè)PA=AB=BC=1，利用勾股定理及余弦定理即可求得cos∠DEF，從而求得∠DEF，根據(jù)異面角與其關(guān)系即可求得答案．

解答：解：如圖所示：分別取PA、AB、BC的中點(diǎn)D、E、F，連結(jié)DE、DF、EF、AF，則DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其補(bǔ)角即為所求，
不妨設(shè)PA=AB=BC=1，∵PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴△PAB，△ABC均為Rt△，
所以DE=EF=

2

2

，DF=

DA2+AF2

=

DA2+AB2+BF2

=

6

2

，
根據(jù)c²=a²+b²-2abcosC可得cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2DE•EF

=

1 2 + 1 2 - 3 2

2× 2 2 × 2 2

=-

1

2

，
所以∠DEF=

2π

3

，
所以PB與AC的夾角為

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的性質(zhì)及異面角的求解，異面角的常用求解方法有：①平移法：通過(guò)平移直線把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，其步驟為：一作、二證、三求；②向量法：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直線的方向向量的夾角求解；注意異面角的范圍：（0，

π

2

]．