Question

已知函數(shù)f（x）=3

4-x

+4

x-3

，則函數(shù)f（x）的最大值為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、不存在

Answer 1

分析：先求函數(shù)的定義域，然后利用三角還原法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的最大值．

解答：解：要使函數(shù)有意義，則

4-x≥0 x-3≥0

，即3≤x≤4，
則0≤x-3≤1，0≤4-x≤1，且4-x+x-3=1，
∴可設(shè)4-x=sin²θ，則cos²θ=x-3，0≤θ≤90°
則F（x）=3sina+4cosa=5sin（a+b）
則函數(shù)f（x）等價(jià)為y=3sinθ+4cosθ=5（

3

5

sinθ+

4

5

cosθ），
令cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
則y=3sinθ+4cosθ=5（

3

5

sinθ+

4

5

cosθ）=5（sinθcosα+cosθsinα）=5sin（θ+α），
∴當(dāng)θ+α=90°時(shí)，函數(shù)取的最大值5，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求法，根據(jù)函數(shù)式子的特點(diǎn)，利用三角換元法是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握輔助角公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．