Question

已知函數(shù)f(x)=4x+

1

x

．
（1）求函數(shù)y=f（x）-4的零點(diǎn)；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，+∞)上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即f（x）-4=0，得4x+

1

x

-4=0，故可解；
（2）利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間(

1

2

，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＞x₂，推證f（x₁）＞f（x₂），即可．

解答：解（1）因?yàn)?span id="jup99mj" class="MathJye">f(x)-4=4x+

1

x

-4，令f（x）-4=0，得4x+

1

x

-4=0，
即4x²-4x+1=0，解得x=

1

2

．
所以函數(shù)y=f（x）-4的零點(diǎn)是

1

2

．
（2）設(shè)x₁，x₂是區(qū)間(

1

2

，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＞x₂，
則f(x1)-f(x2)=4x1+

1

x1

-(4x2+

1

x2

)=4(x1-x2)

x1x2- 1 4

x1x2

，
由x1＞x2＞

1

2

，得x1x2＞

1

4

，
又由x₁＞x₂，得x₁-x₂＞0，所以4(x1-x2)

x1x2- 1 4

x1x2

＞0，
于是f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，+∞)上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)注意理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，掌握單調(diào)性證明的步驟．