Question

用定義證明函數(shù)f（x）=

2x

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：任取1＜x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易得出f（x₂）-f（x₁）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．

解答：解：函數(shù)f(x)=

2x

x-1

在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．理由如下：
設(shè)1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2x2

x2-1

-

2x1

x1-1

=

-2(x1+x2)

(x1-1)(x2-1)

因?yàn)?＜x₁＜x₂，，所以x₁+x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．