Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦哈斯公式化簡(jiǎn)，后兩項(xiàng)變形后利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可得到f（x）的遞增區(qū)間；
（II）由第一問(wèn)確定的f（x）解析式，利用平移規(guī)律得到平移后的函數(shù)解析式g（x），由x的范圍求出4x的范圍，求出g（x）的最小值與最大值，即可得出g（x）的值域．
解答：解：（I）∵f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π；
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得：-+kπ≤≤+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z；
（II）函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，
得到y(tǒng)=2sin（4x-），
再把所得的圖象向左平移個(gè)單位得到g（x）=2cos4x，
當(dāng)x∈[-，]時(shí)，4x∈[-，]，
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）_max=2；當(dāng)x=-時(shí)，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在區(qū)間[-，]上的值域?yàn)閇-1，2]．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及平移規(guī)律，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．