Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(1，

2 5

5

)，B(-2，

5

5

).圓C以點(diǎn)（2，0）為圓心，橢圓的短半袖長(zhǎng)為半徑．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

CP

•

OP

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程把A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得m和n，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)橢圓的短半軸的長(zhǎng)求得圓心的坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而可得圓的方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，則可分別表示出

CP

和

OP

，進(jìn)而求得

CP

•

OP

的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)圓方程確定x的范圍，進(jìn)而求得

CP

•

OP

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）．
因?yàn)?span id="ib1mgzo" class="MathJye">A(1，

2 5

5

)，B(-2，

5

5

)在橢圓E上，所以

m+ 4 5 n=1 4m+ 1 5 n=1

解得m=

1

5

，n=1，滿足條件
所以所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

5

+y2=1.
（2）由（1）知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，所以圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r=1，
故圓C的方程為（x-2）²+y²=1．
設(shè)P（x，y），則

CP

=(x-2，y)，

OP

=(x，y)，
所以

CP

•

OP

=x(x-2)+y2=x2+y2-2x=2x-3.
因?yàn)椋▁-2）²+y²=1，所以（x-2）²≤1，即-1≤x-2≤1，得1≤x≤3．
所以-1≤2x-3≤3，即

CP

•

OP

的取值范圍為[-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．