Question

已知函數(shù)f(x)=x2-3kx+3k-log

1

2

m（k，m為常數(shù)）．
（1）當(dāng)k和m為何值時(shí)，f（x）為經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的偶函數(shù)？
（2）若不論k取什么實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷出f（-x）=f（x）把函數(shù)解析式代入求得6kx=0總成立，求得k，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)過（1，0）點(diǎn)代入后即可求得m．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)知可判斷出方程x2-3kx+3k-log

1

2

m=0恒有兩個(gè)不等實(shí)根進(jìn)而根據(jù)△＞0恒成立，進(jìn)而求得m的范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴x2+3kx+3k-log

1

2

m=x2-3kx+3k-log

1

2

m
由此得6kx=0總成立，故k=0．
∴f(x)=x2-log

1

2

m，又該函數(shù)過點(diǎn)（1，0），
∴log

1

2

m=1，得m=

1

2

所以，當(dāng)m=

1

2

，k=0時(shí)，f（x）為經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的偶函數(shù)．
（2）由函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)知，
方程x2-3kx+3k-log

1

2

m=0恒有兩個(gè)不等實(shí)根
，故△=9k2-4(3k-log

1

2

m)＞0恒成立，
即4log

1

2

m＞-9k2+12k恒成立，
而-9k²+12k=-9(k-

2

3

)2+4≤4，
故只須4log

1

2

m＞4，即log

1

2

m＞1，解得0＜m＜

1

2

．
所以，當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．如果函數(shù)無零點(diǎn)，則方程無實(shí)數(shù)根；如果有一個(gè)零點(diǎn)，則方程有且只有一個(gè)實(shí)根；函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．